已知f(x)=2cos2x+
3
sin2x+a,(a∈R)

(I)若x∈[0,
π
2
]
時(shí),f(x)最大值為4,求a的值;
(II)在(I)的條件下,求滿足f(x)=1且x∈[-π,π]的x的集合.
分析:(I)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式為2sin(2x+
π
6
)+1+a,根據(jù)x∈[0,
π
2
]
時(shí),f(x)取得最大值為4,求得a的值.
(II)在(I)的條件下,由f(x)=1求得 2sin(2x+
π
6
)=-
1
2
.由于x∈[-π,π],可得 2x+
π
6
[-
11π
6
13π
6
]
,求得 2x+
π
6
的值,即可求得x的值的集合.
解答:解:(I)∵f(x)=2cos2x+
3
sin2x+a
=1+cos2x+
3
sin2x+a=2sin(2x+
π
6
)+1+a,
x∈[0,
π
2
]
,則 (2x+
π
6
)∈[
π
6
6
]
,∴當(dāng)(2x+
π
6
)=
π
2
時(shí),f(x)取得最大值為4=3+a,∴a=1.
(II)在(I)的條件下,由f(x)=1可得 2sin(2x+
π
6
)+2=1,∴2sin(2x+
π
6
)=-
1
2

由于x∈[-π,π],∴2x+
π
6
[-
11π
6
,
13π
6
]
,∴2x+
π
6
=-
6
,-
π
6
,
6
,
11π
6
,
解得 x=-
π
2
,-
π
6
,
π
2
,
6
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的定義域和值域,根據(jù)三角函數(shù)的值求角,屬于中檔題.
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在下列命題中:①已知兩條不同直線m、n兩上不同平面α,β,m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β;②函數(shù)y=sin(2x-
π
6
)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)(
π
3
,0);③若函數(shù)f(x)在R上滿足f(x+1)=
1
f(x)
,則f(x)是周期為2的函數(shù);④在△ABC中,若
OA
+
OB
=2
CO
,則S△ABC=S△BOC其中正確命題的序號(hào)為
 

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