Question

已知關于x的一元二次函數f（x）=ax²-2bx+1．
（1）設集合P={1，2}，Q={-1，1，2，3}，從集合P中隨機取一個數作為a，從集合Q中隨機取一個數作為b，求方程f（x）=0有兩相等實根的概率；
（2）設點（a，b）是區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內的隨機點，求函數y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,二次函數的性質

專題：概率與統計

分析：（1）求出方程f（x）=0有兩相等實根的等價條件，利用古典概型的概率公式，即可得到結論．
（2）作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用幾何概型的概率公式求出相應的面積即可得到結論．

解答： 解：（1）若方程f（x）=0有兩相等實根，則△=4b²-4a=0，即a=b²，
當a=1，b=±1，即滿足條件的有2個，
則根據古典概型的概率公式可得方程f（x）=0有兩相等實根的概率為：

2

2×4

=

1

4

．
（2）∵a＞0，
∴若函數y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數，則對稱軸x=

b

a

≤1，即b≤a，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
則A（8，0），B（0，8），C（4，4），
則由幾何概型的概率公式可得函數y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數的概率為

S△OAC

S△AOB

=

1

2

．

點評：本題主要考查概率的計算，根據古典關系和幾何概型的概率公式是解決本題的關鍵．