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已知函數f(x)=x+
ax

（1）若f（2）=4，求a的值；
（2）x＞0時，f（x）的圖象如圖，看圖指出y=f（x）（x＞0）的減區(qū)間，并證明你的結論．
（3）請根據函數的性質畫出f（x）（x＜0）的草圖（無需列表）．
分析：（1）把x=2代入f（x），求得a的值；
（2）由圖象得y=f（x）（x＞0）的減區(qū)間，用定義證明f（x）的單調性；
（3）f（x）是定義域上的奇函數，圖象關于原點對稱，根據x＞0時f（x）的圖象，可以畫出x＜0時f（x）的圖象．
解答：解：（1）∵f(2)=2+
a
2
=4∴a=4，即a的值是4；
（2）由圖知，y=f（x）（x＞0）的減區(qū)間是(0，
a
)
證明：設任意的x1，x2，且0＜x1＜x2＜
a
；
則f（x1）-f（x2）=（x1+
a
x1
）-（x2+
a
x2
）=(x1-x2)(1-
a
x1x2
)=(x1-x2)(
x1x2-a
x1x2
)；
∵0＜x1＜x2＜
a
，∴x1x2＜a，∴x1x2-a＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0；
∴f（x）在(0，
a
)上單調遞減．
（3）∵函數f(x)=x+
a
x
（x≠0），∴f（-x）=-x+
a
-x
=-（x+
a
x
）=-f（x），
∴f（x）是定義域上的奇函數，圖象關于原點對稱；
根據x＞0時f（x）的圖象，畫出x＜0時f（x）的圖象，如圖．
點評：本題考查了基本初等函數的性質與應用問題，根據函數的圖象寫出單調性以及應用奇偶性畫出函數的圖象等知識，是基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數學理科試題 題型：022

已知函數f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數”．已知函數f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數”，則k的值是_________．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數，g（x）是奇函數，則f（x）+g（x）是奇函數
B．f（x）是偶函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）是偶函數
C．f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）一定是奇函數或偶函數
D．f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）可以是奇函數或偶函數

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