Question

14．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）證明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A₁C=$\sqrt{6}$，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．求三棱錐C₁-A₁B₁C的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC、OA₁、A₁B，推導(dǎo)出OC⊥AB，OA₁⊥AB，從而AB⊥平面OA₁C，由此能證明AB⊥A₁C．
（Ⅱ）推導(dǎo)出OA₁⊥OC，OA₁⊥AB，從而OA₁為棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，由此能出三棱錐C₁-A₁B₁C的體積．

解答 證明：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC、OA₁、A₁B，
∵CA=CB，∴OC⊥AB，
∵$AB=A{A_1}，∠BA{A_1}={60^0}$，∴△AA₁B為等邊三角形，
∴OA₁⊥AB．
∵OC∩OA₁=O，∴AB⊥平面OA₁C．
又A₁C?平面OA₁C，∴AB⊥A₁C．               …（6分）
解：（Ⅱ）由題設(shè)知：△ABC與△AA₁B都是邊長為2的等邊三角形，
∵△AA₁B是邊長為2的等邊三角形，∴$OC=O{A_1}=\sqrt{3}$，
又${A_1}C=\sqrt{6}$，則$O{A_1}^2+O{C^2}={A_1}{C^2}$，∴OA₁⊥OC
又∵OA₁⊥AB且OC∩AB=O，
∴OA₁⊥平面ABC，OA₁為棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，
又△ABC的面積${S_{△ABC}}=\sqrt{3}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=S_△ABC×OA₁=3，
∴三棱錐C₁-A₁B₁C的體積為1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．