Question

已知橢圓x2+

y2

b2

=1(0＜b＜1)的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A、C，上頂點(diǎn)為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）．
（1）當(dāng)m+n＞0時(shí)，求橢圓離心率的范圍；
（2）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先求F、B、C的坐標(biāo)，求直線FC、BC的中垂線方程，解出P的坐標(biāo)，m+n＞0，得到a、b、c關(guān)系，求出e的范圍．
（2）直線AB與⊙P能相切，則切點(diǎn)為B，求出AB和PB的斜率，如果垂直，斜率之積為-1，判斷即可．

解答：解：（1）設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為（-c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為 x=

1-c

2

，
y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)．聯(lián)列方程組，
解出

x= 1-c 2 y= b2-c 2b

∴m+n=

1-c

2

+

b2-c

2b

＞0，
即b-bc+b²-c＞0，即（1+b）（b-c）＞0，
∴b＞c．
從而b²＞c²即有a²＞2c²，
∴e2＜

1

2

．又 e＞0，
∴0＜e＜

2

2

．
（2）直線AB與⊙P不能相切．由k_AB=b，kPB=

b- b2-c 2b

0- 1-c 2

=

b2+c

b(c-1)

．
如果直線AB與⊙P相切，則  b•

b2+c

b(c-1)

=-1．b²+c²=1
解出c=0或2，與0＜c＜1矛盾，
所以直線AB與⊙P不能相切．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系等知識，難度較大，容易出錯(cuò)．