Question

設(shè)F₁、F₂是橢圓（a＞b＞0）的左右焦點，A為上頂點，橢圓上的點N滿足：=+λ（λ∈R）．
（1）求實數(shù)λ的取值范圍；
（2）設(shè)λ=，過點N作橢圓的切線分別交左、右準線于P、Q，直線NF₁、NF₂分別交橢圓于C、D兩點．是否存在實數(shù)m，使=m（+）？若存在，求出實數(shù)m的值，否則說明理由；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上猜想：是否存在實數(shù)n，使=n（+）？若存在寫出n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)N（x，y），由點N滿足：=+λ（λ∈R），將相關(guān)點的坐標代入，由向量相等的充要條件，可將N點坐標用λ表示，代入橢圓方程，得λ與a、b、c的等式，利用離心率的范圍即可求得λ的范圍
（2）由（1）知N（，），再由直線NF₂與橢圓聯(lián)立求得D（0，-b），而點Q的橫坐標也已知為，將這些點的坐標代入已知=m（+），即可得m==，Q（，-），從而求得切線NQ的斜率，等于利用導數(shù)的幾何意義求得的橢圓在點N處的切線斜率，求得橢圓離心率，進而求出m的值
（3）根據(jù)（2）的思路，只需求出直線NF₁與橢圓的交點C的橫坐標，代入=n（+），得m與離心率的關(guān)系，代入求得的離心率即可猜想n值
解答：解：（1）設(shè)N（x，y）
∵F₁（-c，0）F₂（c，0），A（0，b），
∴=（c，b），=（（2c，0），=（x+c，y）
∵=+λ（λ∈R），
∴（x+c，y）=（2c，0）+λ（c，b），
∴
∴，
∵N點在橢圓上，代入橢圓方程
得
∴，顯然λ=-1滿足等式
若λ≠-1，則
∵橢圓的離心率e=∈（0，1）
∴0＜＜1
解得0＜λ＜1
∴實數(shù)λ的取值范圍為（0，1）∪{-1}
（2）∵λ=
∴N（，）
∵直線NF₂的方程為y=（x-c）
即y=（x-c），∵此直線過點（0，-b）
∴D（0，-b）
假設(shè)存在實數(shù)m，使=m（+）
∵Q在右準線x=上，∴Q的橫坐標為，設(shè)縱坐標為y_Q
則（，y_Q）=m[（，）+（0，-b）]
∴=×m，∴m==*
∴y_Q=-=-
Q（，-）
∵直線NQ的斜率為==  ①

由，得橢圓在第一象限的圖象的函數(shù)解析式為y=
y′==
∴y′==
即橢圓切線NQ的斜率為     ②
由①②得=
化簡得
兩邊同除以a⁴，得
解得e²=
代入*式，得m==2
故存在實數(shù)m=2，使=m（+）
（3）∵N（，）
∵直線NF₁的方程為y=（x+c）
即y=（x+c），代入橢圓方程得（1+）x2+x-=0
∴x_C×=
∴x_C=，

假設(shè)存在實數(shù)n，使=n（+）
∵P在左準線x=-上，∴Q的橫坐標為-，設(shè)縱坐標為y_P
則（-，y_P）=m[（，）+（，y_C）]
∴-=（+）×m，
∴m==
由（2）知e²=
代入上式得：m=14
故猜想存在n=14，使=n（+）
點評：本題考查了橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量與解析幾何的綜合運用