Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為

π

2

，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位后對(duì)應(yīng)函數(shù)為偶函數(shù)，求φ

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由題意可得函數(shù)的周期為2×

π

2

=π=

2π

2ω

，求得ω的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得y=sin（2x-

π

6

-2φ）-

1

2

是偶函數(shù)，故有

π

6

+2φ=kπ+

π

2

，k∈z，再結(jié)合φ＞0，可得φ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為

π

2

，
故函數(shù)的周期為2×

π

2

=π=

2π

2ω

，∴ω=1，函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

．
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位后對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=sin（2x-

π

6

-2φ）-

1

2

是偶函數(shù)，
故有

π

6

+2φ=kπ+

π

2

，k∈z，即φ=

kπ

2

+

π

6

，k∈z．
再根據(jù)φ＞0，可得 φ=

kπ

2

+

π

6

，k∈N．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的周期性和對(duì)稱性，屬于中檔題．