(本小題滿分14分)
如圖,已知橢圓過點(1,
),離心率為
,左右焦點分別為
.點
為直線
:
上且不在
軸上的任意一點,直線
和
與橢圓的交點分別為
和
為坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線、
斜率分別為
.
(ⅰ)證明:
(ⅱ )問直線上是否存在一點
,使直線
的斜率
滿足
?若存在,求出所有滿足條件的點
的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(Ⅰ)
( Ⅱ )(。┳C明見解析
(ⅱ )
滿足條件的點P的坐標(biāo)分別為,(
,
)。
【解析】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,直線的斜率等知識,是一道綜合性的試題,考查了學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力以及數(shù)形結(jié)合、分類討論數(shù)學(xué)思想,。其中問題(Ⅱ)是一個開放性的探索問題,考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力。
【答案】
(Ⅰ)解:因為橢圓過點(1,),e=
,
所以,
.
又,
所以
故所求橢圓方程為 .
(II)(1)證明:
方法一:由(1,0),
(1,0),PF1,PF2的斜率分別為
,
,且點p不在 x軸上。
所以,
有直線,
的方程分別為
,
聯(lián)立方程解得
所以
由于點P在直線上
所以
因此
即,結(jié)論成立
方法二:
因為點P不在x軸上,所以
又
所以
因此結(jié)論成立---------------------------------------------------
(ⅱ)解:設(shè),
,
,
.
聯(lián)立直線與橢圓的方程得
化簡得
因此
由于 的斜率存在,
所以 ,因此
因此
相似地可以得到
故
若,須有
=0或
=1.
① 當(dāng)=0時,結(jié)合(。┑慕Y(jié)論,可得
=-2,所以解得點P的坐標(biāo)為(0,2);
② 當(dāng)=1時,結(jié)合(ⅰ)的結(jié)論,可得
=3或
=-1(此時
=-1,不滿足
≠
,舍去 ),此時直線CD的方程為
,聯(lián)立方程
得
,
因此
.
綜上所述,滿足條件的點P的坐標(biāo)分別為,(
,
)。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分14分)設(shè)橢圓C1的方程為(a>b>0),曲線C2的方程為y=
,且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標(biāo);(2)設(shè)A、B是橢圓C1的兩個焦點,當(dāng)a變化時,求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達(dá)式。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷(A) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知=2,點(
)在函數(shù)
的圖像上,其中
=
.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設(shè),求
及數(shù)列{
}的通項公式;
(3)記,求數(shù)列{
}的前n項和
,并證明
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山東省威海市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
某網(wǎng)店對一應(yīng)季商品過去20天的銷售價格及銷售量進(jìn)行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),第天(
)的銷售價格(單位:元)為
,第
天的銷售量為
,已知該商品成本為每件25元.
(Ⅰ)寫出銷售額關(guān)于第
天的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;
(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省高三下學(xué)期第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知的圖像在點
處的切線與直線
平行.
⑴ 求,
滿足的關(guān)系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范圍;
⑶ 證明:(
)
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