Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷方程的根個數(shù)；

（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；

【解析】

（1）首先設，求導得到，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到，又因為時，，，從而得到方程有兩個根.

（2）首先設，將題意轉(zhuǎn)化為，恒成立.再討論的范圍，利用導數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，確定，由即可得到實數(shù)的取值范圍.

（1）設，.

.

因為，所以.

令，解得.

當，，為減函數(shù)，

當，，為增函數(shù).

所以.

又因為時，，，

所以函數(shù)與軸有個交點，即方程有2個根.

（2）設

將題意等價于，恒成立.

，

因為，所以.

當，即時，.

令，解得.

，，為減函數(shù)，

，，為增函數(shù).

，不滿足恒成立，舍去.

當，即時，令，解得或.

①當時，，

，在為增函數(shù)，

，不滿足恒成立，舍去.

②當時，即.

，，為增函數(shù)，

，，為減函數(shù)，

，，為增函數(shù)，

又因為，，

所以，不滿足恒成立，舍去.

③當時，即.

，，為增函數(shù)，

，，為減函數(shù)，

，，為增函數(shù)，

又因為，，

因為時，恒成立，

所以，解得.

綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.