已知兩點(diǎn),直線AM、BM相交于點(diǎn)M,且這兩條直線的斜率之積為.
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅱ)記點(diǎn)M的軌跡為曲線C,曲線C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,直線PE、PF與圓)相切于點(diǎn)E、F,又PE、PF與曲線C的另一交點(diǎn)分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值(其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(Ⅰ));(Ⅱ) .

解析試題分析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 則, ,化簡可得軌跡方程.
(Ⅱ)設(shè)出直線PE、PF的點(diǎn)斜式方程,分別求出它們與圓)相切條件下與曲線C的另一交個交點(diǎn)Q、R.的坐標(biāo),寫出直線的方程,點(diǎn)到直線的距離公式可求的底邊上的高.進(jìn)而得出面積的表達(dá)式,再探索用基本不等式求該式最值的方法.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),      2分
整理得點(diǎn)M所在的曲線C的方程:)          3分

(Ⅱ)由題意可得點(diǎn)P()             4分
因為圓的圓心為(1,0),
所以直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù)
----------5分
設(shè)直線PE的方程為,
與橢圓方程聯(lián)立消去,得:
,         6分
由于1是方程的一個解,
所以方程的另一解為            7分
同理                 8分
故直線RQ的斜率為
=     9分
把直線RQ的方程代入橢圓方程,消去整理得
所以         10分
原點(diǎn)O到直線RQ的距離為               11分
.    12分
考點(diǎn):1、動點(diǎn)軌跡方程的求法;2、直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系;3、基本不等式的應(yīng)用.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C:的一個焦點(diǎn)為F1(0,3),M(x,4)(x>0)為橢圓C上一點(diǎn),△MOF1的面積為.
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 是否存在平行于OM的直線l,使得直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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已知曲線.
(1)若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓,求的取值范圍;
(2)設(shè),過點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若為直角三角形,求直線的斜率.

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已知橢圓上的點(diǎn)到其兩焦點(diǎn)距離之和為,且過點(diǎn)
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)為坐標(biāo)原點(diǎn),斜率為的直線過橢圓的右焦點(diǎn),且與橢圓交于點(diǎn),,若,求△的面積.

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已知點(diǎn)在拋物線上.
(1)若的三個頂點(diǎn)都在拋物線上,記三邊,所在直線的斜率分別為,,,求的值;
(2)若四邊形的四個頂點(diǎn)都在拋物線上,記四邊,,所在直線的斜率分別為,,,,求的值.

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在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)及直線,曲線是滿足下列兩個條件的動點(diǎn)的軌跡:①其中到直線的距離;②
(1) 求曲線的方程;
(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.

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已知橢圓)的右焦點(diǎn)為,離心率為.
(Ⅰ)若,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),分別為線段的中點(diǎn). 若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上,且,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知為橢圓的左、右焦點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過的直線交橢圓兩點(diǎn),則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?
若存在其最大值及此時的直線方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,點(diǎn)為拋物線C上的一點(diǎn),且的外接圓圓心到準(zhǔn)線的距離為

(I)求拋物線C的方程;
(II)若圓F的方程為,過點(diǎn)P作圓F的2條切線分別交軸于點(diǎn),求面積的最小值時的值.

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