Question

（2011•東城區(qū)二模）已知函數f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求證：f（x）在（1，+∞）上是增函數；
（Ⅱ）求f（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證函數在（1，+∞）上是增函數，只需要證明其導數大于0即可；求導函數先研究函數的單調性，確定極值，從而確定函數的最值，分類討論是解題的關鍵．
（Ⅱ）先求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，求出極值、最值即可．

解答：證明：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x²-2lnx，當x∈（1，+∞）時，f/(x)=

2(x2-1)

x

＞0，所以f（x）在（1，+∞）上是增函數；   …（5分）
（Ⅱ）解：f/(x)=

2x2-a

x

＞0，
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上單調遞增，最小值為f（1）=1．
當a＞0，x∈(0，

a 2

)時，f（x）單調遞減；當x∈(

a 2

，+∞)時，f（x）單調遞增．
若

a 2

≤ 1，即0＜a≤2時，f（x）在[1，+∞）上單調遞增，又f（1）=1，，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值為1．
若

a 2

＞1，即a＞2時，f（x）在[1，

a 2

)上單調遞減；在(

a 2

，+∞)上單調遞增．
又f(

a 2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值為

a

2

-

a

2

ln

a

2

．
綜上，當a≤2時，f（x）在[1，+∞）上的最小值為1；
當a＞2時，f（x）在[1，+∞）上的最小值為

a

2

-

a

2

ln

a

2

．…（13分）

點評：利用導數研究函數的單調性比用函數單調性的定義要方便，但應注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）僅是f（x）在某個區(qū)間上為增函數（或減函數）的充分條件，在（a，b）內可導的函數f（x）在（a，b）上遞增（或遞減）的充要條件應是f′（x）≥0[或f′（x）≤0]，x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子區(qū)間內都不恒等于0，這就是說，函數f（x）在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內個別點處有f′（x0）=0，甚至可以在無窮多個點處f′（x0）=0，只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間，因此，在已知函數f（x）是增函數（或減函數）求參數的取值范圍時，應令f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立，解出參數的取值范圍（一般可用不等式恒成立理論求解），然后檢驗參數的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，則參數的這個值應舍去，若f′（x）不恒為0，則由f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立解出的參數的取值范圍確定．