(2009•孝感模擬)已知函數(shù)f(x)=
1-a+lnx
x
,a∈R

(1)求f(x)的極值;
(2)若lnx-kx<0在(0,+∞)上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)若f(x)-e=0在[
1
e2
,1]
上有唯一實根,求實數(shù)a的范圍.
分析:(1)先對函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值,再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而確定極值.
(2)將問題轉(zhuǎn)化為
lnx
x
<k
在(0,+∞)上恒成立的問題,然后求函數(shù) g(x)=
lnx
x
(x>0)
.的最大值,令k大于這個最大值即可.
(3)由f(x)-e=0得a=1+lnx-ex,令g(x)=1+lnx-ex,x∈[
1
e2
,1]
,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)在[
1
e2
,1]
上的單調(diào)性和極值即可求出所求.
解答:解:(1)∵f/(x)=
a-lnx
x2
,令f′(x)=0,∴x=ea------------------------------------------------(2分)
由下表:
x (0,ea ea (ea,+∞)
f′(x) + 0 -
f(x) 極大值
∴f(x)的極大值為f(ea)=
1-a+a
ea
=e-a

故f(x)的最大值為e-a.-------------------------------------------------------(4分)
(2)若lnx-kx<0在(0,+∞)上恒成立,∴k>
lnx
x
在(0,+∞)上恒成立∴k>[
lnx
x
]max
-------------(6分)
由(1):令a=1,則f(x)=
lnx
x
,∴[
lnx
x
]max=
1
e
k>
1
e
--------------------------(8分)
(3)由f(x)-e=0得a=1+lnx-ex,令g(x)=1+lnx-ex,x∈[
1
e2
,1]
------------------------------(10分)
g′(x)=
1
x
-e
,由g′(x)=0 得x=
1
e
,
當(dāng)x∈[
1
e2
,
1
e
):g′(x)>0
,∴g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(
1
e
,1]:g′(x)<0
,∴g(x)單調(diào)遞減.
g(
1
e2
)=1+ln
1
e2
-e•
1
e2
=-1-
1
e
,g(
1
e
)=1+ln
1
e
-e•
1
e
=-1
,g(1)=1-e∵g(
1
e2
)-g(1)=-2+e-
1
e
=
e2-2e-1
e
=
(e-1)2-2
e
<0∴g(
1
e2
)<g(1)

由題意得:a∈[g(
1
e2
),g(1)]∪{g(
1
e
)}

a∈[-1-
1
e
,1-e)∪{-1}
--------------------------------------------------------(13分)
點評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系.導(dǎo)數(shù)是高考的熱點問題,每年必考,要給予重視.
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