(2012•山東)如圖,橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8.
(Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q,l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S,T.求
|PQ|
|ST|
的最大值及取得最大值時(shí)m的值.
分析:(Ⅰ)通過橢圓的離心率,矩形的面積公式,直接求出a,b,然后求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ) 通過
x2+4y2=4
y=x+m
⇒5x2+8mx+4m2-4=0
,利用韋達(dá)定理求出|PQ|的表達(dá)式,通過判別式推出的m的范圍,①當(dāng)-
5
<m<-1
時(shí),求出
|PQ|
|ST|
取得最大值
2
5
5
.利用由對(duì)稱性,推出1<m<
5
,
|PQ|
|ST|
取得最大值
2
5
5
.③當(dāng)-1≤m≤1時(shí),
|PQ|
|ST|
取得最大值
2
5
5
.求
|PQ|
|ST|
的最大值及取得最大值時(shí)m的值.
解答:解:(I)e=
c
a
=
3
2
a2-b2
a2
=
3
4
…①
矩形ABCD面積為8,即2a•2b=8…②
由①②解得:a=2,b=1,
∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2
4
+y2=1

(II)
x2+4y2=4
y=x+m
⇒5x2+8mx+4m2-4=0
,
由△=64m2-20(4m2-4)>0得-
5
<m<
5

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-
8
5
m,x1x2=
4m2-4
5
,
|PQ|=
2
(-
8
5
m)
2
-4
4m2-4
5
=
4
2
5
5-m2

當(dāng)l過A點(diǎn)時(shí),m=1,當(dāng)l過C點(diǎn)時(shí),m=-1.
①當(dāng)-
5
<m<-1
時(shí),有S(-m-1,-1),T(2,2+m),|ST|=
2
(3+m)
,
|PQ|
|ST|
=
4
5
5-m2
(3+m)2
=
4
5
-
4
t2
+
6
t
-1
,
其中t=m+3,由此知當(dāng)
1
t
=
3
4
,即t=
4
3
,m=-
5
3
∈(-
5
,-1)
時(shí),
|PQ|
|ST|
取得最大值
2
5
5

②由對(duì)稱性,可知若1<m<
5
,則當(dāng)m=
5
3
時(shí),
|PQ|
|ST|
取得最大值
2
5
5

③當(dāng)-1≤m≤1時(shí),|ST|=2
2
|PQ|
|ST|
=
2
5
5-m2
,
由此知,當(dāng)m=0時(shí),
|PQ|
|ST|
取得最大值
2
5
5

綜上可知,當(dāng)m=±
5
3
或m=0時(shí),
|PQ|
|ST|
取得最大值
2
5
5
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的綜合問題,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,韋達(dá)定理以及判別式的應(yīng)用,設(shè)而不求的解題方法,考查分析問題解決問題,計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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1
6
1
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1
6
1
6

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9
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