Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{lo{g}_{a}（x+1）+1，x≥0}\end{array}\right.$，（a＞0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減．
（1）a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$]；
（2）若關(guān)于x的方程|f（x）|=2-x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）∪{$\frac{3}{4}$}．

Answer 1

分析 （1）由減函數(shù)的定義可知f（x）在每一段上都是減函數(shù)，且在第一段上的最小值大于或等于第二段上的最大值，列出不等式解出a的范圍；
（2）由與y=2-x與|f（x）|的第二段圖象必有一交點可知f（x）=2-x在（-∞，0）上必有一解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組解出a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4a-3}{2}≥0}\\{3a≥1}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{4}$．
（2）∵y=log_a（x+1）+1是減函數(shù)，且f（0）=1，
∴y=|log_a（x+1）+1|與y=2-x在（0，+∞）上必有一解，
∴y=x²+（4a-3）x+3a=2-x在（-∞，0）上必有一解．
即x²+（4a-2）x+3a-2=0在（-∞，0）上有一解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（4a-2）^{2}-4（3a-2）=0}\\{-\frac{4a-2}{2}＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（4a-2）^{2}-4（3a-2）＞0}\\{3a-2＜0}\end{array}\right.$，
又$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{4}$，
解得a=$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{2}{3}$．
故答案為：[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$]，[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）∪{$\frac{3}{4}$}．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)零點的個數(shù)判斷，屬于中檔題．