Question

已知向量

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，函數(shù)f（x）=

m

•

n

，若f（x）最小正周期為π．
（1）求ω的值，并求f（x）的最大值及相應x的集合；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C所對的邊，△ABC的面積S=5

3

，b=4，f（A）=1，求邊a的長．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,解三角形

分析：（1）由數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的運算可得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），由周期公式和已知周期可得ω值，進而可得函數(shù)的解析式，可得最大值和相應的x；（2）由（1）知f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，可得A=

π

3

，由面積和b=4，可得c=5，代入余弦定理可得a值．

解答： 解：（1）由題意可得f（x）=

m

•

n

=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+（

3

cosωx）（2sinωx）
=cos²ωx-sin²ωx+2

3

sinωxcosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
∵f（x）最小正周期為π，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
當2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

，k∈Z時，函數(shù)f（x）取最大值2，
故函數(shù)取最大值時相應的x的集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}
（2）由（1）知f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，解得A=

π

3

，
∴S=

1

2

bc•sin

π

3

=5

3

，化簡可得bc=20，又b=4，∴c=5
由余弦定理可得a²=42+52-2×4×5×

1

2

=21
∴a=

21

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積，涉及三角函數(shù)的化簡運算和解三角形，屬中檔題．