已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求證:對(duì)于區(qū)間[-1,1]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4;
(3)若過(guò)點(diǎn)A(1,m)(m≠-2)可作曲線(xiàn)y=f(x)的三條切線(xiàn),求實(shí)數(shù)m的范圍.
分析:(1)解析式中有兩個(gè)參數(shù),故需要得到兩個(gè)方程求參數(shù),由于函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值,由極值存在的條件恰好可以得到兩個(gè)關(guān)于參數(shù)的兩個(gè)方程,由此解析式易求.
(2)欲證對(duì)于區(qū)間[-1,1]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4,可以求出函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最值,若最大值減去最小值的差小于等于4,則問(wèn)題得到證明,故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的單調(diào)性求最值的問(wèn)題.
(3)由于點(diǎn)A(1,m)(m≠-2),驗(yàn)證知此點(diǎn)不在函數(shù)圖象上,可設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)M(x0,y0),然后用兩種方式表示出斜率,建立關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程2x03-3x02+m+3=0,再借助函數(shù)的單調(diào)性與極值確定其有三個(gè)解的條件即可.
解答:解:(1)f′(x)=3ax
2+2bx-3,依題意,f′(1)=f′(-1)=0,解得a=1,b=0.
∴f(x)=x
3-3x
(2)∵f(x)=x
3-3x,∴f′(x)=3x
2-3=3(x+1)(x-1),
當(dāng)-1<x<1時(shí),f′(x)<0,故f(x)在區(qū)間[-1,1]上為減函數(shù),
f
max(x)=f(-1)=2,f
min(x)=f(1)=-2
∵對(duì)于區(qū)間[-1,1]上任意兩個(gè)自變量的值x
1,x
2,
都有|f(x
1)-f(x
2)|≤|f
max(x)-f
min(x)|
|f(x
1)-f(x
2)|≤|f
max(x)-f
min(x)|=2-(-2)=4
(3)f′(x)=3x
2-3=3(x+1)(x-1),
∵曲線(xiàn)方程為y=x
3-3x,∴點(diǎn)A(1,m)不在曲線(xiàn)上.
設(shè)切點(diǎn)為M(x
0,y
0),切線(xiàn)的斜率為
3(-1)=(左邊用導(dǎo)數(shù)求出,右邊用斜率的兩點(diǎn)式求出),
整理得2x
03-3x
02+m+3=0.
∵過(guò)點(diǎn)A(1,m)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn),故此方程有三個(gè)不同解,下研究方程解有三個(gè)時(shí)參數(shù)所滿(mǎn)足的條件
設(shè)g(x
0)=2x
03-3x
02+m+3,則g′(x
0)=6x
02-6x
0,
由g′(x
0)=0,得x
0=0或x
0=1.
∴g(x
0)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減.
∴函數(shù)g(x
0)=2x
03-3x
02+m+3的極值點(diǎn)為x
0=0,x
0=1
∴關(guān)于x
0方程2x
03-3x
02+m+3=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是
,解得-3<m<-2.
故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3<m<-2.
點(diǎn)評(píng):本題考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了函數(shù)極值存在的條件,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法以及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)切線(xiàn)的問(wèn)題,本題涉及到了求導(dǎo)公式,求最值的方法,導(dǎo)數(shù)的幾何意義等,綜合性強(qiáng),難度較大,解題時(shí)注意體會(huì).