(08年鷹潭市二模理)(12分)如圖,正方形所在的平面與平面垂直,的交點(diǎn),,且

(Ⅰ)求證:平面

(Ⅱ)求直線與平面所成的角的大;

(Ⅲ)求二面角的大。

解析:解法一:(Ⅰ)∵四邊形是正方形,

.   ………………………1分

∵平面平面,    

又∵

平面.……………………3分

平面,

平面.    ………………4分

 (Ⅱ)連結(jié),

平面,

是直線與平面所成的角.……………………5分

設(shè),則

,,       ……………………6分

,

.           

即直線與平面所成的角為.   …………………8分

 (Ⅲ)過(guò),連結(jié).    …………………………9分

平面,平面

是二面角的平面角.…………………10分

∵平面平面,平面

中, ,有

由(Ⅱ)所設(shè)可得

,

.………………………11分

∴二面角等于.           ………………………12分

解法二: ∵四邊形是正方形 ,

,∵平面平面,

平面,   ……………………2分

∴可以以點(diǎn)為原點(diǎn),以過(guò)點(diǎn)平行于的直線為軸,分別以直線軸和軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè),則

,

是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn),

.……………………4分

 (Ⅰ) 

,

,…………………………5分

平面.       ……………………6分

(Ⅱ) 平面,

為平面的一個(gè)法向量,………………………7分

.………………………8分

∴直線與平面所成的角為.……………………9分

 (Ⅲ) 設(shè)平面的法向量為,則

      即

,則, 則.……………………10分

又∵為平面的一個(gè)法向量,且,

,……………………11分

設(shè)二面角的平面角為,則,

∴二面角等于.…………………………………12分

                

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