Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點．
（1）證明EF∥平面SAD；
（2）設SD=2DC，求二面角A-EF-D的余弦值．

Answer 1

分析：法一：（1）作FG∥DC交SD于點G，則G為SD的中點．要證EF∥平面SAD，只需證明EF平行平面SAD內的直線AG即可．
（2）取AG中點H，連接DH，說明∠DMH為二面角A-EF-D的平面角，解三角形求二面角A-EF-D的大小．
法二：（1）建立空間直角坐標系，證明

EF

=

AG

，可得EF∥AG，從而EF∥平面SAD．
（2）利用

MD

和

EA

的夾角等于二面角A-EF-D的平面角，根據向量的夾角公式，即可求得結論．

解答：解法一：
（1）作FG∥DC交SD于點G，則G為SD的中點．
連接AG，則FG平行且等于CD，又CD平行且等于AB，
∴FG平行且等于AE，∴AEFG為平行四邊形．
∴EF∥AG，
∵AG?平面SAD，EF?平面SAD．
∴EF∥平面SAD．

（2）不妨設DC=2，則SD=4，DG=2，△ADG為等腰直角三角形．
取AG中點H，連接DH，則DH⊥AG．
又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．
取EF中點M，連接MH，則HM⊥EF．
連接DM，則DM⊥EF．
故∠DMH為二面角A-EF-D的平面角
∴tan∠DMH=

DH

HM

=

2

．
∴cos∠DMH=

3

3

∴二面角A-EF-D的余弦值為

3

3

．
解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標系D-xyz．
設A（a，0，0），S（0，0，b），則B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，

a

2

，0），F(xiàn)（0，

a

2

，

b

2

），
∴

EF

=(-a，0，

b

2

)．
取SD的中點G（0，0，

b

2

），則

AG

=(-a，0，

b

2

)．
∴

EF

=

AG

∴EF∥AG
∵AG?平面SAD，EF?平面SAD．
∴EF∥平面SAD．
（2）不妨設A（1，0，0），則B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E（1，

1

2

，0），F(xiàn)（0，

1

2

，1）．
∴EF中點M（

1

2

，

1

2

，

1

2

）
∴

MD

=(-

1

2

，-

1

2

，-

1

2

)，

EF

=(-1，0，1)
∴

MD

•

EF

=0
∴MD⊥EF
又

EA

=（0，-

1

2

，0），∴

EA

•

EF

=0
∴EA⊥EF，
∴

MD

和

EA

的夾角等于二面角A-EF-D的平面角．
∵cos＜

MD

，

EA

＞=

MD • EA

| MD || EA |

=

3

3

．
∴二面角A-EF-D的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，二面角的求法，考查向量知識的運用，考查計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．