Question

一只小球放入一長(zhǎng)方體容器內(nèi)，且與共點(diǎn)的三個(gè)面相接觸．若小球上一點(diǎn)到這三個(gè)面的距離分別為4、5、5，則這只小球的半徑是（　�。�

• A、3或8
• B、8或11
• C、5或8
• D、3或11

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：小球在長(zhǎng)方體容器內(nèi)，且與共點(diǎn)的三個(gè)面相接觸，則小球的球心A到三個(gè)接觸面的距離相等，小球上一點(diǎn)P到這三個(gè)面的距離分別為4、5、5，若以三個(gè)面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以其中兩個(gè)面的交線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系后，球心和小球上的點(diǎn)的坐標(biāo)可知，向量

OA

和

OP

的坐標(biāo)可求，由向量減法的三角形法則可得向量

AP

，向量

AP

的模就是小球的半徑，由半徑相等列式可求這只小球的半徑．

解答： 解：如圖，
設(shè)長(zhǎng)方體的三個(gè)面共點(diǎn)為O，以O(shè)E，OF，OG所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)樾∏蚺c共點(diǎn)的三個(gè)面相接觸，所以設(shè)球心A（r，r，r），
又因?yàn)樾∏蛏弦稽c(diǎn)P到這三個(gè)面的距離分別為4、5、5，
所以點(diǎn)為P（5，4，5），
則

OA

=（r，r，r），

OP

=（5，4，5），
由

AP

=

OP

-

OA

=（5-r，4-r，5-r）．
∴|

AP

|²=（5-r）²+（4-r）²+（5-r）²=r²，
即r²-14r+33=0，解得：r=3或r=11．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了球外切多面體，考查了空間點(diǎn)、線、面間的距離的計(jì)算，利用空間向量處理該題起到事半功倍的效果，屬中檔題．