Question

3．已知橢圓C的一個焦點F₁（$\sqrt{3}$，0），短軸的長為2，雙曲線D以橢圓C的焦點為焦點，實軸長與橢圓C的短軸長相等．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求雙曲線D的方程；
（3）求橢圓C與雙曲線D相交所得的矩形面積S．

Answer 1

分析 （1）由c=$\sqrt{3}$，b=1，則a=2，即可求得橢圓C的方程；
（2）由c=$\sqrt{3}$，a=1，b²=c²-a²=3-1=2，即可求得雙曲線的標準方程；
（3）聯(lián)立橢圓及雙曲線方程，求得交點坐標，根據(jù)矩形的面積公式，即可求得橢圓C與雙曲線D相交所得的矩形面積S．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，由c=$\sqrt{3}$，b=1，則a=2，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
（2）設(shè)雙曲線的標準方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞0，b＞0），
則c=$\sqrt{3}$，a=1，b²=c²-a²=3-1=2，
∴雙曲線D的方程x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（3）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{4}{3}}\\{{y}^{2}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
則x=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$×4=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
橢圓C與雙曲線D相交所得的矩形面積為$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題，