Question

若等差數(shù)列{a_n}滿足a₁²+a₂₀₁₅²≤

1

10

，則S=a₂₀₁₅+a₂₀₁₆+a₂₀₁₇+…+a₄₀₂₉的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意可得a₁²+（a₁+2014d）²≤

1

10

，設(shè)a₁=m，a₁+2014d=n，可得S=2015（

3

2

n-

1

2

m），問題轉(zhuǎn)化為在m²+n²≤

1

10

的條件下，求S=2015（

3

2

n-

1

2

m）的最大值，由線性規(guī)劃可得．

解答： 解：∵等差數(shù)列{a_n}滿足a₁²+a₂₀₁₅²≤

1

10

，
∴a₁²+（a₁+2014d）²≤

1

10

，
設(shè)a₁=m，a₁+2014d=n，則m²+n²≤

1

10

，且d=

n-m

2014

由等差數(shù)列的求和公式可得S=a₂₀₁₅+a₂₀₁₆+a₂₀₁₇+…+a₄₀₂₉
=（4029-2015+1）

a2015+a4029

2

=2015•

2a3022

2

=2015a₃₀₂₂=2015（a₁+3021d）=2015（m+3021×

n-m

2014

）
=2015（m+3×

n-m

2

）=2015（

3

2

n-

1

2

m）
問題轉(zhuǎn)化為在m²+n²≤

1

10

的條件下，求S=2015（

3

2

n-

1

2

m）的最大值，
設(shè)p=

3

2

n-

1

2

m，可得m-3n-2p=0，
又可得點(diǎn)（m，n）在原點(diǎn)為圓心，

10

10

為半徑的圓內(nèi)（包括圓周），
∴直線m-3n-2p=0上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離d=

|2p|

12+(-3)2

≤r=

10

10

，
解得p≤

1

2

，∴S=2015（

3

2

n-

1

2

m）=2015p≤

2015

2

，
∴S=a₂₀₁₅+a₂₀₁₆+a₂₀₁₇+…+a₄₀₂₉的最大值為

2015

2

故答案為：

2015

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及簡單線性規(guī)劃，屬中檔題．