下面四個圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第n個圖形中所有小正三角形邊上黑點的總數(shù)為.

           

   圖1             圖2                 圖3                         圖4

（1）求出,,,;

（2）找出與的關(guān)系，并求出的表達式；

（3）求證：().

 

【答案】

（1）12,27,48,75.

（2）， ．

（3）利用“放縮法”。．

【解析】

試題分析：（1）由題意有

，

，

，

，

．                              2分

（2）由題意及（1）知，，    4分

即，

所以，

，

，

，                           5分

將上面個式子相加，得：

                                               6分

又，所以．                    7分

（3）

∴．            9分

當(dāng)時，，原不等式成立．        10分

當(dāng)時，，原不等式成立．   11分

當(dāng)時，

， 原不等式成立．                 13分                                                   

綜上所述，對于任意，原不等式成立．         14分

考點：歸納推理，不等式的證明，“裂項相消法”。

點評：中檔題，本題綜合性較強，注意從圖形出發(fā)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，確定“遞推關(guān)系”。不等式的證明問題，往往需要先放縮，后求和，再證明。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面四個圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第n個圖形中所有小正三角形邊上黑點的總數(shù)為f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）與f（n+1）的關(guān)系，并求出f（n）的表達式；
（3）求證：
1
1
3
f(1)+3
+
1
1
3
f(2)+5
+
1
1
3
f(3)+7
+…+
1
1
3
f(n)+2n+1
＜
25
36
（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面四個圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第n個圖形中有n個正三角形中所有小正三角形邊上黑點的總數(shù)為f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）與f（n+1）的關(guān)系，并求出f（n）的表達式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面四個圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第n個圖形中所有小正三角形邊上黑點的總數(shù)為.

           

               圖1           圖2               圖3                  圖4

（1）求出,,,;

（2）找出與的關(guān)系，并求出的表達式；

（3）求證：().

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面四個圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第n個圖形中所有小正三角形邊上黑點的總數(shù)為.

           

               圖1           圖2             圖3                 圖4

（1）求出,,,;

（2）找出與的關(guān)系，并求出的表達式；

（3）求證：().

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面四個圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第n個圖形中所有小正三角形邊上黑點的總數(shù)為.

           

               圖1           圖2             圖3                 圖4

（1）求出,,,;

（2）找出與的關(guān)系，并求出的表達式；

（3）求證：().

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