【題目】記表示,中的最大值,如.已知函數(shù),.
(1)設(shè),求函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)試探討是否存在實(shí)數(shù),使得對恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】(1)個(gè);(2)存在,.
【解析】
試題分析:(1)設(shè),利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求出,可得,則,結(jié)合圖象可得零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)可將題意轉(zhuǎn)化為對恒成立,分別求和成立即可.
試題解析:(1)設(shè),,
令,得,遞增;令,得,遞減.
∴,∴,即,∴.
設(shè),結(jié)合與在上圖象可知,這兩個(gè)函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn),即在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得對恒成立,
則對恒成立,
即對恒成立,
(i)設(shè),,
令,得,遞增;令,得,遞減.
∴.
當(dāng),即時(shí),,∴,
∵,∴.
故當(dāng)時(shí),對恒成立.
當(dāng),即時(shí),在上遞減,∴.
∵,∴
故當(dāng)時(shí),對恒成立.
(ii)若對恒成立,則,∴.
由(i)及(ii)得,.
故存在實(shí)數(shù),使得對恒成立,
且的取值范圍為.
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【題目】在數(shù)列中,,,
(1)設(shè),證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
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【題目】已知函數(shù)上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則的值是( )
A. B. C. 或 D. 無法確定
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【題目】在三棱柱中,已知,點(diǎn)在底面的投影是線段的中點(diǎn).
(1)證明:在側(cè)棱上存在一點(diǎn),使得平面,并求出的長;
(2)求:平面與平面夾角的余弦值.
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【題目】某單位每天的用電量(度)與當(dāng)天最高氣溫(℃)之間具有線性相關(guān)關(guān)系,下表是該單位隨機(jī)統(tǒng)計(jì)4天的用電量與當(dāng)天最高氣溫的數(shù)據(jù).
最高氣溫(℃) | 26 | 29 | 31 | 34 |
用電量 (度) | 22 | 26 | 34 | 38 |
(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求出回歸直線的方程(其中);
(Ⅱ)試預(yù)測某天最高氣溫為33℃時(shí),該單位當(dāng)天的用電量(精確到1度).
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【題目】如圖,在多面體中,平面,,且為等邊三角形,,與平面所成角的正弦值為.
(1)若是線段的中點(diǎn),證明:平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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