過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
交于M,N兩點(diǎn),P是橢圓C上異于M,N的任一點(diǎn).若直線(xiàn)PM,PN的斜率之積為-
1
4
,則橢圓C的離心率為
3
2
3
2
分析:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),表示出直線(xiàn)PM,PN的斜率,利用直線(xiàn)PM,PN的斜率之積為-
1
4
,結(jié)合點(diǎn)差法,化簡(jiǎn),即可求得離心率.
解答:解:設(shè)P(x,y),M(m,n),N(-m,-n),則直線(xiàn)PM,PN的斜率分別為
y-n
x-m
,
y+n
x+m

∵直線(xiàn)PM,PN的斜率之積為-
1
4
,∴
y-n
x-m
y+n
x+m
=-
1
4
,∴
y2-n2
x2-m2
•=-
1
4

∵M(jìn),P是橢圓C上的點(diǎn)
x2
a2
+
y2
b2
=1
m2
a2
+
n2
b2
=1

兩式相減可得
x2-m2
a2
=-
y2-n2
b2

y2-n2
x2-m2
•=-
b2
a2

b2
a2
=
1
4

∴a=2b,∴c=
a2-b2
=
3
b
∴e=
c
a
=
3
2

故答案為:
3
2
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的幾何性質(zhì),考查點(diǎn)差法的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•懷化三模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過(guò)點(diǎn)(
3
,
3
2
)
,離心率e=
1
2
,若點(diǎn)M(x0,y0)在橢圓C上,則點(diǎn)N(
x0
a
,
y0
b
)
稱(chēng)為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”,直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、B的“橢點(diǎn)”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C的右頂點(diǎn)為D,上頂點(diǎn)為E,試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關(guān)系,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•浦東新區(qū)三模)已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍,其左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2,拋物線(xiàn)M:y2=4mx(m>0)的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于F1,橢圓C與拋物線(xiàn)M的一個(gè)交點(diǎn)為P.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,直線(xiàn)l過(guò)焦點(diǎn)F2,與拋物線(xiàn)M交于A、B兩點(diǎn),若弦長(zhǎng)|AB|等于△PF1F2的周長(zhǎng),求直線(xiàn)l的方程;
(3)由拋物線(xiàn)弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)
和橢圓弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
(
2m
3
≤x≤2m)

(m>0)合成的曲線(xiàn)叫“拋橢圓”,是否存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2,若存在,求出兩直角邊所在直線(xiàn)的斜率;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年湖南省懷化市高考數(shù)學(xué)三模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓過(guò)點(diǎn),離心率,若點(diǎn)M(x,y)在橢圓C上,則點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”,直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、B的“橢點(diǎn)”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C的右頂點(diǎn)為D,上頂點(diǎn)為E,試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關(guān)系,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年黑龍江省哈爾濱三中高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓過(guò)點(diǎn),離心率,若點(diǎn)M(x,y)在橢圓C上,則點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”,直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、B的“橢點(diǎn)”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C的右頂點(diǎn)為D,上頂點(diǎn)為E,試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關(guān)系,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍,其左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2,拋物線(xiàn)M:y2=4mx(m>0)的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于F1,橢圓C與拋物線(xiàn)M的一個(gè)交點(diǎn)為P.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,直線(xiàn)l過(guò)焦點(diǎn)F2,與拋物線(xiàn)M交于A、B兩點(diǎn),若弦長(zhǎng)|AB|等于△PF1F2的周長(zhǎng),求直線(xiàn)l的方程;
(3)由拋物線(xiàn)弧y2=4mx和橢圓弧
(m>0)合成的曲線(xiàn)叫“拋橢圓”,是否存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2,若存在,求出兩直角邊所在直線(xiàn)的斜率;若不存在,說(shuō)明理由.

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