Question

如圖，已知橢圓焦點(diǎn)為F₁、F₂，雙曲線G：x²-y²=4，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁、PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（1）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁和k₂，求k₁•k₂的值；
（2）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出斜率，利用P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，即可求得k₁•k₂的值；
（2）設(shè)出直線AB，CD的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得相應(yīng)弦長(zhǎng)，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可得，從而問(wèn)題得解．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），x≠±2，那么，
∴
∵P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)
∴x²-y²=4，
∴y²=x²-4，
∴k₁k₂=1
（2）設(shè)直線AB：y=k₁（x+2），k₁≠0
由方程組得
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則
由弦長(zhǎng)公式得
同理設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由（1）k₁•k₂=1得，，代入得
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，∴
則存在，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查直線與圓錐曲線的綜合，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式，綜合性強(qiáng)．