已知函數(shù)（）．
（1）求的單調區(qū)間；
（2）如果是曲線上的任意一點，若以為切點的切線的斜率恒成立，求實數(shù)的最小值；
（3）討論關于的方程的實根情況．

（1）單調遞增區(qū)間為 ，單調遞減區(qū)間為；（2）的最小值為；（3）時，方程有兩個實根，當時，方程有一個實根，當時，方程無實根．

解析試題分析：本題考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值等基礎知識，考查函數(shù)思想，分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，先求導數(shù)，令導數(shù)等于0，得到方程的根，則為增函數(shù)，為減函數(shù)，本問要注意函數(shù)的定義域；第二問，先利用導數(shù)求出切線的斜率，得到恒成立的表達式，將其轉化為對恒成立，所以關鍵就是求，配方法求最大值即可；第三問，先將原方程化為，設，看函數(shù)圖像與x軸的交點，對求導，判斷函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最大值，討論最大值的三種情況來決定方程根的情況.
試題解析：(Ⅰ) ，定義域為，
則．
因為，由得， 由得，
所以的單調遞增區(qū)間為 ，單調遞減區(qū)間為．   .3分
(Ⅱ)由題意，以為切點的切線的斜率滿足
 ，
所以對恒成立．
又當時， ，
所以的最小值為．        .6分
(Ⅲ)由題意，方程化簡得
令，則．
當時， ，
當時， ，
所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．
所以在處取得極大值即最大值，最大值為．
所以當，即時， 的圖象與軸恰有兩個交點，
方程有兩個實根，
當時，的圖象與軸恰有一個交點，
方程有一個實根，
當時，的圖象與軸無交點，
方程無實根．                12分
考點：1.利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性；2.利用導數(shù)求函數(shù)的最值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

對定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意的，都有，且對任意的都有恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“型”函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)是上的“型”函數(shù)；
（2）設是（1）中的“型”函數(shù)，若不等式對一切的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)是區(qū)間上的“型”函數(shù)，求實數(shù)和的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求的值
（2）判斷并證明的單調性；
（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，
（1）求該函數(shù)的定義域和值域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，
（1）當時，解不等式
（2）若函數(shù)有最大值，求實數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知是定義域為R的奇函數(shù)，,
⑴求實數(shù)的值；
⑵若在x∈[2,3]上恒成立,求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
(1) 當時，函數(shù)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；
(2) 是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，并且的最大值為1．如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

揚州某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其橫斷面要求面積為平方米，且高度不低于米．記防洪堤橫斷面的腰長為（米），外周長（梯形的上底線段與兩腰長的和）為（米）.

⑴求關于的函數(shù)關系式，并指出其定義域；
⑵要使防洪堤橫斷面的外周長不超過米，則其腰長應在什么范圍內？
⑶當防洪堤的腰長為多少米時，堤的上面與兩側面的水泥用料最省（即斷面的外周長最�。�？求此時外周長的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
(I)若不等式的解集為，求實數(shù)的值；
(II)在(I)的條件下,若對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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