Question

在等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中，a₁=2b₁=2，b₆=32，{a_n}的前20項(xiàng)和S₂₀=230．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）現(xiàn)分別從{a_n}和{b_n}的前4中各隨機(jī)抽取一項(xiàng)，寫出相應(yīng)的基本事件，并求所取兩項(xiàng)中，滿足a_n＞b_n的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=2b₁=2，b₆=32，{a_n}的前20項(xiàng)和S₂₀=230，求得a₁=2，b₁=1，q=2，d=1，由此能求出a_n和b_n．
（Ⅱ）分別從{a_n}，{b_n}中的前三項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng)，得到基本事件有16個(gè)，符合條件a_n＞b_n的有8個(gè)，由此能求出滿足a_n＞b_n的概率．

解答：解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，
∵a₁=2b₁=2，b₆=32，{a_n}的前20項(xiàng)和S₂₀=230，
∴a₁=2，b₁=1，
∴

q5=32 20×2+ 20×19 2 d=230

，
解得q=2，d=1，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
b_n=1×2^n-1=2^n-1．
（Ⅱ）分別從{a_n}，{b_n}中的前三項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng)，
得到基本事件（2，1），（2，2），（2，4），（2，8），（3，1），（3，2），
（3，4），（3，8），（4，1），（4，2），（4，4），（4，8），（5，1），
（5，2），（5，4），（5，8），有16個(gè)，
符合條件a_n＞b_n的有8個(gè)，
故滿足a_n＞b_n的概率為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查概率的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．