Question

已知關于x的不等式：|x-

m

2

|≤

1

2

（m∈Z），2是其解集中唯一的整數解．
（1）求m的值；
（2）已知正實數a，b，c滿足a²+4b²+16c²=m，求a+2b+4c的最大值．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（1）由|x-

m

2

|≤

1

2

可得

m-1

2

≤x≤

m+1

2

，利用m∈Z，2是其解集中唯一的整數解，即可求m的值；
（2）由條件利用柯西不等式得：（a²+4b²+16c²）（1+1+1）≥（a+2b+4c）²，即4≥（a+2b+4c）²．再根據a、b、c為正實數，求得a+2b+4c的最大值．

解答： 解：（1）由|x-

m

2

|≤

1

2

可得

m-1

2

≤x≤

m+1

2

，
∵m∈Z，2是其解集中唯一的整數解，
∴m=4；
（2）∵a²+4b²+16c²=4，由柯西不等式得：（a²+4b²+16c²）（1+1+1）≥（a+2b+4c）²，
故有4≥（a+2b+4c）²．
再根據a、b、c為正實數，∴a+2b+4c≤2，即a+2b+4c的最大值為2．

點評：本題主要考查利用絕對值不等式的基本性質求解和證明不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．