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【題目】已知一列函數，設直線與的交點為，點在軸和直線上的射影分別為，記的面積為，的面積為.

（1）求的最小值，并指出此時的取值；

（2）在中任取一個函數，求該函數在上是增函數或在上是減函數的概率；

（3）是否存在正整數，使得成立，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）, （2） （3）不存在

【解析】

（1）根據題意表示出,結合基本不等式即可求得最小值及取得最小值時的值.

（2）根據函數表達式,結合打勾函數的圖像與性質,即可判斷在上是增函數或在上是減函數的所有情況,即可求得在中滿足條件的概率.

（3）由直線與的交點為,即可求得點的坐標.由點在軸和直線上的射影分別為,結合點到直線距離公式即可求得的坐標.表示出的面積,的面積.將、的表達式代入等式中,通過化簡變形,檢驗即可得知的值,若不存在.

（1）函數

所以

由基本不等式可知,

當且僅當時取等號,即時取等號

所以的最小值為,當時取等號

（2）因為結合對勾函數的圖像與性質

所以

在內滿足單調遞增,而不滿足.因而滿足在內滿足單調遞增的函數共有49個.

因為,而

而滿足在內單調遞減,所以此時共有

所以該函數在上是增函數或在上是減函數的個數共有個

即該函數在上是增函數或在上是減函數的概率為

（3）因為直線與的交點為

所以

點在軸上的射影為,所以

點在直線上的射影為,直線方程化為一般式可得

則由點到直線距離公式可得

從向軸作垂直,交于點E

則

所以

畫出函數圖像如下圖所示:

所以的面積為

的面積為

假設存在正整數,使得成立,代入可得

將式子化簡可得

當時,等式左邊等于20,等式右邊等于17,等式不成立

當時,等式左邊等于32,等式右邊等于68,等式不成立

當時,等式左邊小于0,等式右邊大于0,等式不成立.

綜上可知,不存在正整數,使得成立

練習冊系列答案
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【題目】某市計劃在一片空地上建一個集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區(qū)，如圖，已知兩個購物廣場的占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為公頃和公頃；由購物廣場、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為公頃和公頃.

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