已知曲線C的參數(shù)方程為
x=sinα
y=cosα
(α∈R,α為參數(shù)).當(dāng)極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合,且極軸在x軸的正半軸上時,曲線D的極坐標(biāo)力程為ρsin(θ+
π
4
)=
2
a.
(I)試將曲線C的方程化為普通方程,曲線D的方程化為直角坐標(biāo)方程;
(II)試確定實數(shù)a的取值范圍,使曲線C與曲線D有公共點.
分析:(I)先利用三角函數(shù)的同角公式展開曲線C的參數(shù)方程化成普通方程,再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,進行代換即可將曲線D的方程化為直角坐標(biāo)方程.
(II)利用(1)中直角坐標(biāo)方程,再利用圓心到直線的距離d≤r建立不等關(guān)系求出a的范圍即可.
解答:解:(I)∵曲線C的參數(shù)方程是 
x=sinα
y=cosα
(θ是參數(shù)),
∴消去參數(shù)得:x2+y2=1;,
∴曲線D的極坐標(biāo)方程可寫為ρsin(θ+
π
4
)=
2
a.
即:
2
2
ρsinθ+
2
2
ρcosθ=
2
a

故直角坐標(biāo)方程為:x+y-2a=0.
(II)利用圓心到直線的距離d≤r得
|2a|
2
≤1
解得:-
2
2
≤a≤
2
2

實數(shù)a的取值范圍:-
2
2
≤a≤
2
2
點評:本題考查點的極坐標(biāo)及參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化,能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置,體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的區(qū)別,能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C的參數(shù)方程為
x=1+cosθ
y=sinθ.
(θ為參數(shù)),則曲線C上的點到直線2x-y+2=0的距離的最大值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C的參數(shù)方程為
x=2+cosθ
y=1+sinθ
(θ∈[0,π]),且點P(x,y)在曲線C上,則
y+x-1
x
的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•湖南模擬)選做題(請考生在第16題的三個小題中任選兩題作答,如果全做,則按前兩題記分,要寫出必要的推理與演算過程)
(1)如圖,已知Rt△ABC的兩條直角邊BC,AC的長分別為3cm,4cm,以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D,試求BD的長.
(2)已知曲線C的參數(shù)方程為
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)),求曲線C上的點到直線x-y+1=0的距離的最大值.
(3)若a,b是正常數(shù),a≠b,x,y∈(0,+∞),則
a2
x
+
b2
y
(a+b)2
x+y
,當(dāng)且僅當(dāng)
a
x
=
b
y
時上式取等號.請利用以上結(jié)論,求函數(shù)f(x)=
2
x
+
9
1-2x
(x∈0,
1
2
)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程是
y=sinθ+1
x=cosθ
(θ是參數(shù)),若以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸,取與直角坐標(biāo)系中相同的單位長度,建立極坐標(biāo)系,求曲線C的極坐標(biāo)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

附加題:(選做題:在下面A、B、C、D四個小題中只能選做兩題)
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,已知AB、CD是圓O的兩條弦,且AB是線段CD的垂直平分線,
已知AB=6,CD=2
5
,求線段AC的長度.
B.選修4-2:矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值λ1=1及對應(yīng)的一個特征向量e1=
1
1
和特征值λ2=2及對應(yīng)的一個特征向量e2=
1
0
,試求矩陣A.
C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程是
y=sinθ+1
x=cosθ
(θ是參數(shù)),若以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸,取與直角坐標(biāo)系中相同的單位長度,建立極坐標(biāo)系,求曲線C的極坐標(biāo)方程.
D.選修4-5:不等式選講
已知關(guān)于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1(a>0).
(1)當(dāng)a=1時,求此不等式的解集;
(2)若此不等式的解集為R,求實數(shù)a的取值范圍.

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