精英家教網如圖,已知焦點在x軸上的橢圓
x2
20
+
y2
b2
=1(b>0)
經過點M(4,1),直線l:y=x+m交橢圓于A,B兩不同的點.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)求實數(shù)m的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)m,使△ABM為直角三角形,若存在,求出m的值,若不存,請說明理由.
分析:(1)設出橢圓方程的標準形式,由離心率的值及橢圓過點(4,1)求出待定系數(shù),得到橢圓的標準方程.
(2)把直線方程代入橢圓的方程,由判別式大于0,求出m的范圍即可;
(3)對于存在性問題,可先假設存在,即假設存在實數(shù)m滿足題意,再利用△ABM為直角三角形,結合向量垂直的條件求出m,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設不成立,即不存在;否則存在.
解答:解:(1)依題意
16
20
+
1
b2
=1
,解得b2=5,…(2分)
所以橢圓的標準方程是
x2
20
+
y2
5
=1
.…(3分)
(2)由
y=x+m
x2
20
+
y2
5
=1
得5x2+8mx+4m2-20=0,…(4分)
∵直線l與橢圓有兩個不同的交點,
∴△=(8m)2-20(4m2-20)=-16m2+400>0…(6分)
解得-5<m<5.…(7分)
(3)假設存在實數(shù)m滿足題意,
當MA⊥AB時,直線MA的方程為y-1=-(x-4),即y=-x+5.
y=-x+5
x2
20
+
y2
5
=1
得x2-8x+16=0,解得
x=4
y=1

故A(4,1),與點M重合,不合題意.
同理,當MB⊥AB時,也不合題意.…(9分)
當MA⊥MB時,設A(x1,y1),B(x2,y2).
由(2)得x1+x2=-
8m
5
x1x2=
4m2-20
5
,
y1+y2=x1+x2+2m,y1•y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2.…(10分)
MA
=(x1-4,y1-1)
,
MB
=(x2-4,y2-1)

MA
MB
=(x1-4)(x2-4)+(y1-1)(y2-1)
…(11分)
=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-(y1+y2)+1
=2x1x2+(m-5)(x1+x2)+m2-2m+17
=2•
4m2-20
5
+(m-5)(-
8m
5
)+m2-2m+17

=
40m-40
5
+m2-2m+17
=m2+6m+9.…(13分)
MA
MB
=0
,
∴m2+6m+9=0,
解得m=-3∈(-5,5),
綜上所述,存在實數(shù)m=-3使△ABM為直角三角形.…(14分)
點評:本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程,一元二次方程根與系數(shù)的關系,體現(xiàn)了等價轉化的數(shù)學思想.
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如圖,橢圓的焦點在x軸上,左右頂點分別為A1,A,上頂點為B,拋物線C1,C2分別以A,B為焦點,其頂點均為坐標原點O,C1與C2相交于直線上一點P.

(1)求橢圓C及拋物線C1,C2的方程;

(2)若動直線l與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同的兩點M,N,已知點Q(-,0),求的最小值.

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(Ⅰ)求橢圓C及拋物線C1、C2的方程;

(Ⅱ)若動直線l與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同的兩點M、N,已知點Q(-,0),求·的最小值.

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(1)求橢圓C及拋物線C1,C2的方程;

(2)若動直線l與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同兩點M,N,已知點,求的最小值.

 

 

 

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(1)求該橢圓的標準方程;
(2)求實數(shù)m的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)m,使△ABM為直角三角形,若存在,求出m的值,若不存,請說明理由.

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