Question

14．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直底面，各棱長均為2，D為AB的中點．
（1）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求證：平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁
（3）求A₁B₁與平面A₁CD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC₁，設(shè)AC₁與A₁C相交于點E，連接DE，則DE∥BC₁，由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）推導出CD⊥AA₁，CD⊥AB，從而CD⊥面ABB₁A₁，由此能證明平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁．
（3）作B₁E⊥A₁D于E，則∠B₁A₁E為所A₁B₁與平面A₁CD所成角，由此能求出A₁B₁與平面A₁CD所成角的正切值．

解答 證明：（1）連結(jié)AC₁，設(shè)AC₁與A₁C相交于點E，連接DE，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁A₁A是平行四邊形，
∴E為AC₁中點，
∵D為AB的中點，∴DE∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁CD，DE?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．…（4分）
（2）∵A₁A⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴CD⊥AA₁，
又∵CD⊥AB，AB∩AA₁=A，AB，A₁A?面ABB₁A₁，
∴CD⊥面ABB₁A₁，
∵CD?面A₁CD，∴平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁．…（8分）
解：（3）作B₁F⊥A₁D于F，
由（2）知B₁F⊥面A₁DC，
∴∠B₁A₁F為所A₁B₁與平面A₁CD所成角，
tan∠B₁A₁F=tan∠ADA₁=2，
∴A₁B₁與平面A₁CD所成角的正切值為2．…（13分）

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查線面角的正切值求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．