Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2a_n-2
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

(n+1)log2an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和的定義可知，a₁=s₁，a_n=s_n-s_n-1，這樣能得到a_n=2a_n-1，∴

an

a≈n-1

=2，所以會得到數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，便能求出a_n．第二問，將a_n帶入便可求出b_n=

1

n(n+1)

，為了求T_n，需把

1

n(n+1)

變成

1

n

-

1

n+1

，這樣便能求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2a₁-2=a₁，∴a₁=2；
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，∴a_n=2a_n-1，∴

an

an-1

=2；
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴an=2n．
（Ⅱ）bn=

1

(n+1)log22n

=

1

n•(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．

點(diǎn)評：對于第一問需用的知識是，根據(jù)前n項(xiàng)和的概念S₁=a₁，a_n=S_n-S_n-1，這樣即可求出{a_n}的通項(xiàng)．對于第二問用到的知識是將

1

n(n+1)

變成

1

n

-

1

n+1

，帶入前n項(xiàng)和即可求得T_n．這兩種方法或知識點(diǎn)都需要掌握．