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17.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=an+an2n+12.(n∈N*
(Ⅰ)證明:an+1an≥1+1n+12
(Ⅱ)求證:2n+1n+3<an+1<n+1.

分析 (Ⅰ)由題意知an+1an=an2n+120,從而可得an+1>an>a1≥1,再化簡(jiǎn)可得an+1an=1+ann+121+1n+12,
(Ⅱ)化簡(jiǎn)an+1anan+1an=1n+12anan+1,從而可得1an-1an+11n+121n-1n+1,從而利用累加法可證明an+1<n+1,再由an≤n可得anan+1n+1n+2,從而證明.

解答 證明:(Ⅰ)∵an+1an=an2n+120,
∴an+1>an>a1≥1,
an+1an=1+ann+121+1n+12
(Ⅱ)∵an+1anan+1an=1n+12anan+1
∴0<anan+1<1,
1an-1an+1=an+1anan+1an=1n+12anan+11n+121n-1n+1
累加可得,1a1-1an+1<1-1n+1
故an+1<n+1,
另一方面,由an≤n可得,
原式變形為an+1an=1+ann+121+nn+121+1n+1=n+2n+1anan+1n+1n+2
1an1an+1=1n+12anan+11n+12n+1n+2=1n+1n+2=1n+11n+2
累加得1a11an+1121n+1an+12n+1n+3,
2n+1n+3<an+1<n+1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用,同時(shí)考查了綜合法的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想與累加法、累積法、放縮法的應(yīng)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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