分析 (Ⅰ)由題意知an+1−an=an2(n+1)2>0,從而可得an+1>an>a1≥1,再化簡(jiǎn)可得an+1an=1+an(n+1)2≥1+1(n+1)2,
(Ⅱ)化簡(jiǎn)an+1−anan+1an=1(n+1)2anan+1,從而可得1an-1an+1<1(n+1)2<1n-1n+1,從而利用累加法可證明an+1<n+1,再由an≤n可得anan+1>n+1n+2,從而證明.
解答 證明:(Ⅰ)∵an+1−an=an2(n+1)2>0,
∴an+1>an>a1≥1,
∴an+1an=1+an(n+1)2≥1+1(n+1)2.
(Ⅱ)∵an+1−anan+1an=1(n+1)2anan+1,
∴0<anan+1<1,
即1an-1an+1=an+1−anan+1an=1(n+1)2anan+1<1(n+1)2<1n-1n+1,
累加可得,1a1-1an+1<1-1n+1,
故an+1<n+1,
另一方面,由an≤n可得,
原式變形為an+1an=1+an(n+1)2≤1+n(n+1)2<1+1n+1=n+2n+1⇒anan+1>n+1n+2
故1an−1an+1=1(n+1)2anan+1>1(n+1)2n+1n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2
累加得1a1−1an+1>12−1n+1⇒an+1>2(n+1)n+3,
故2(n+1)n+3<an+1<n+1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用,同時(shí)考查了綜合法的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想與累加法、累積法、放縮法的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,-\frac{4}{{{e^2}+5}}}] | B. | (-∞,\frac{4}{{{e^2}+5}}}] | C. | [-4e2+5,+∞) | D. | [4e2+5,+∞) |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | \frac{10}{13} | B. | -\frac{5}{13} | C. | \frac{5}{13} | D. | \frac{12}{13} |
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