Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=[ax2﹣（2a+1）x+a+2]ex（a∈R）．
（1）當a≥0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設g（x）= ，當a=1時，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈（1，2），使f（x1）≥g（x2），求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（ax2﹣x﹣a+1）ex=（ax+a﹣1）（x﹣1）ex，

a=0時，f′（x）=﹣（x﹣1）ex，

∴當x＞1時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

當a＞0時，f′（x）=a （x﹣1）ex，

令 =1，解得a= ．

當a= 時， ≥0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；

當 時， ＞1，x∈（﹣∞，1）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增； ，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減； ，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

當a 時， ＜1，x∈（﹣∞， ）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增； ，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

綜上可得：當a=0時，當x＞1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當x＜1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

當a= 時，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；

當 時，x∈（﹣∞，1）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增； ，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減； ，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

當a 時，x∈（﹣∞， ）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增； ，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

（2）解：當a=1時，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，2）上單調(diào)遞增．

對任意x1∈（0，2），都有f（x1）≥f（1）=e．

又對任意x1∈（0，2），存在x2∈（1，2），使f（x1）≥g（x2），

∴e≥g（x2），即x2∈（1，2）時有解，

g（x2）= ，∴存在x2∈（1，2），使得 ≤e，即存在x2∈（1，2），使得 ．

令h（x）= ，x∈（1，2），h′（x）= ，

令h′（x）=0，解得x= ，

當x∈ 時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當x∈ 時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．

∴當x= 時，h（x）的最大值為 =1，

綜上可得：實數(shù)b的取值范圍是（﹣∞，1]．

【解析】（1）f′（x）=（ax2﹣x﹣a+1）ex=（ax+a﹣1）（x﹣1）ex ， 對a分類討論：當a=0時，f′（x）=﹣（x﹣1）ex ， 即可得出單調(diào)性；當a＞0時，f′（x）=a （x﹣1）ex ， 令 =1，解得a= ．當a= 時，當 時，當a 時，比較 與1的大小關系即可得出單調(diào)性；（2）當a=1時，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，2）上單調(diào)遞增．對任意x1∈（0，2），都有f（x1）≥f（1）=e．又對任意x1∈（0，2），存在x2∈（1，2），使f（x1）≥g（x2），e≥g（x2），即x2∈（1，2）時有解，g（x2）= ，即存在x2∈（1，2），使得 ．令h（x）= ，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．