Question

已知f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域、值域．
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）對于任意實(shí)數(shù)x，都有2^x＞0，進(jìn)而可得函數(shù)解析式恒有意義，即可得到函數(shù)f（x）的定義域；由f（x）=1-

2

2x+1

，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域利用分析法，可求出值域．
（2）任取實(shí)數(shù)x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得答案．

解答：解：（1）∵?x∈R，都有2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
故函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R．
∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
而2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1．
即-1＜f（x）＜1．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．
（3）?x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵2＞1，∴2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，2^x₁-2^x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性，熟練掌握以上知識及方法是解決問題的關(guān)鍵．