Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形 且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求三棱錐P-BDC的體積．
（Ⅲ）在線段PC上是否存在一點E，使PC⊥平面EBD成立．如果存在，求出EC的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：因為四棱錐P-ABCD的底面為菱形，所以BD⊥AC，
又PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，
因為PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，又BD在平面PBD內(nèi)，
所以平面PBD⊥平面PAD
（2）因為PA⊥底面ABCD，所以PA是底面BCD上的高，
所以：
（3）存在；
設(shè)AC∩BD=O，則EO⊥PC，
易知△COE∽△CPA，，
四棱錐P-ABCD的底面為菱形 且∠ABC=120°，AB=2，PA=，
AC=2CO=2，PC==，

=，
∴．
分析：（1）通過證BD⊥AC，BD⊥PA，得出BD⊥平面PAC，又BD在平面PBD內(nèi)，推出平面PBD⊥平面PAD．
（2）直接利用，求解幾何體的體積．
（3）設(shè)AC∩BD=O，則EO⊥PC，利用△COE∽△CPA，求出CE即可．
點評：本題考查空間想象能力，直線與平面垂直，平面與平面垂直，幾何體的體積的計算，存在性問題的考查．