Question

5．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，直線l經(jīng)過點F₁及虛軸的一個端點，且點F₂到直線l的距離等于實半軸的長，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{3+\sqrt{5}}}{4}$
• C． $\sqrt{\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}$
• D． $\frac{{\sqrt{3+\sqrt{5}}}}{2}$

Answer 1

分析 利用點F₂到直線l的距離等于實半軸的長，可得$\frac{|2bc|}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=a，得出a與c之間的等量關(guān)系，進而求出離心率．

解答 解：由題意，直線l的方程為y=$\frac{c}$x+b，即bx-cy+bc=0，
∵點F₂到直線l的距離等于實半軸的長，
∴$\frac{|2bc|}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=a，
∴4（c²-a²）c²=a²（2c²-a²），
∴4e⁴-6e²+1=0，
∵e＞1，∴e=$\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{2}$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．