【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=can+m(c,m為常數(shù))
(1)當(dāng)c=1,m=1時(shí),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)當(dāng)c=2,m=﹣1時(shí),證明:數(shù)列{an﹣1}為等比數(shù)列;
(3)在(2)的條件下,記bn= ,Sn=b1+b2+…+bn , 證明:Sn<1.

【答案】
(1)解:當(dāng)c=1,m=1時(shí),數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=an+1,

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列,

∴an=3+(n﹣1)×1=n+2


(2)解:證明:當(dāng)c=2,m=﹣1時(shí),數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=2an﹣1,

∴an+1﹣1=2(an﹣1),

又a1﹣1=3﹣1=2,

∴數(shù)列{an﹣1}為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列


(3)解:∵數(shù)列{an﹣1}為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

,∴an=2n+1,

∴bn= = ,

∴Sn=b1+b2+…+bn=

= =1﹣ <1.

∴Sn<1


【解析】(1)當(dāng)c=1,m=1時(shí),數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列,由此能求出an的表達(dá)式.(2)當(dāng)c=2,m=﹣1時(shí),an+1=2an﹣1,從而an+1﹣1=2(an﹣1),由此能證明數(shù)列{an﹣1}為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.(3)推導(dǎo)出an=2n+1,從而bn= = ,由此能證明Sn<1.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的通項(xiàng)公式,需要了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案.

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