Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，△PAD為等邊三角形，又平面PAD⊥平面ABCD.

(1)若在邊BC上存在一點Q，使PQ⊥QD，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)邊BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD時，求二面角A－PD－Q的余弦值.

Answer 1

(1)取AD中點O，連接PO，則PO⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PO⊥平面ABCD.建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0，a)，D(，0,0).

設(shè)Q(t,2,0)，

則＝(t,2，－a)，＝(t－，2,0).

∵PQ⊥QD，

∴·＝t(t－)＋4＝0.

∴a＝2(t＋)，∵a>0，∴t>0，∴2(t＋)≥8，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)t＝2.

故a的取值范圍為[8，＋∞).

(2)由(1)知，當(dāng)t＝2，a＝8時，邊BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD.

此時Q(2,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4).

設(shè)n＝(x，y，z)是平面PQD的法向量，

＝(2,2，－4)，＝(－2,2,0).

由

得

令x＝y(tǒng)＝3，則n＝(3,3，)是平面PQD的一個法向量.

而＝(0,2,0)是平面PAD的一個法向量，

設(shè)二面角A－PD－Q為θ，

由cosθ＝|cos〈，n〉|＝.

∴二面角A－PD－Q的余弦值為.