Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知AB∥CD，PA=AB=AD=2，DC=1，AD⊥AB，PD=PB=2$\sqrt{2}$．點M是PB的中點．
（1）證明：CM∥平面PAD；
（2）求四面體MABC的體積．

Answer 1

分析 （1）取PA的中點N，連接MN，推導出四邊形MNCD是平行四邊形，從而CM∥DN，由此能證明CM∥平面PAD．
（2）推導出PA⊥平面ABCD，作MN⊥AB于E，則ME⊥平面ABCD，則ME=1，由此能求出四面體MABC的體積．

解答 證明：（1）取PA的中點N，連接MN，有MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴MN$\underset{∥}{=}$DC，∴四邊形MNCD是平行四邊形，∴CM∥DN，
又DN?平面PAD，CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD．
解：（2）依題意知：PA²+AB²=PB²，PA²+AD²=PD²，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
∵AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，
作MN⊥AB于E，則ME⊥平面ABCD，則ME=1，
則${V}_{M-ABC}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查四面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．