Question

已知函數f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．
（Ⅰ）若為f（x）的極值點，求實數a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）在[1，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=-1使，方程有實根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

解：（I）=
∵的極值點，∴，∴，∴a=0
又當a=0時，f'（x）=x（3x-2），從而的極值點成立．
（II）因為f（x）在[1，+∞）上為增函數，
所以上恒成立．（6分）
若a=0，則f'（x）=x（3x-2），∴f（x）在[1，+∞）上為增函數不成產‘
若a≠0，由ax+1＞0對x＞1恒成立知a＞0．
所以3ax²+（3-2a）x-（a²+2）≥0對x∈[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=3ax²+（3-2a）x-（a²+2），其對稱軸為，
因為，從而g（x）在[1，+∞）上為增函數．
所以只要g（1）≥0即可，即-a²+a+1≥0
所以又因為（10分）
（III）若a=-1時，方程
可得
即b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在x＞0上有解
即求函數g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
法一：b=x（lnx+x-x²）令h（x）=lnx+x-x²
由∵x＞0∴當0＜x＜1時，h'（x）＞0，
從而h（x）在（0，1）上為增函數；
當x＞1時，h'（x）＜0，從而h（x）在（1，+∞）上為減函數．
∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以無窮小．∴b的取值范圍為（-∞，0]（15分）
法二：g'（x）=lnx+1+2x-3x²
當，所以上遞增；
當，所以上遞減；
又∴當0＜x＜x₀時，g'（x）＜0，
所以g（x）在0＜x＜x₀上遞減；當x₀＜x＜1時，g'（x）＞0，
所以g（x）在x₀＜x＜1上遞增；當x＞0時，g（x）＜0，所以g（x）在x＞1上遞減；
又當x→+∞時，g（x）→-∞，
當x→0時，，則g（x）＜0，且g（1）=0所以b的取值范圍為（-∞，0]
分析：（I）根據極值點的信息，我們要用導數法，所以先求導，則的極值點，則有從而求得結果．
（II）由f（x）在[1，+∞）上為增函數，則有f′（x）≥0，x∈[1，+∞）上恒成立求解．
（III）將a=-1代入，方程，可轉化為b=xlnx+x²-x³，x＞0上有解，只要求得函數g（x）=xlnx+x²-x³的值域即可．
點評：本題主要考查導數在求最值和極值中的應用，變形與轉化是導數法解題中的關鍵．