Question

（2012•日照一模）給出下列四個(gè)命題：
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）=x²+a^x-3只有一個(gè)零點(diǎn)；
③函數(shù)y=sin(2x-

π

3

)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是[-

π

12

，

5π

12

]；
④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=f（x），且當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，則當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0．
其中真命題的序號(hào)是

①③④

（把所有真命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：根據(jù)含有量詞的命題否定法則，得①是真命題；通過舉例說明，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，可得②不正確；根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得③是真命題；根據(jù)函數(shù)奇偶性與導(dǎo)數(shù)奇偶性的關(guān)系，并結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，可得④是真命題．

解答：解：根據(jù)含有量詞的命題否定法則，可得命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，故①正確；
若0＜a＜1，取a=

1

2

，則f（x）=x²+（

1

2

）^x-3滿足：f（0）=-1＜0且f（

3

）=(

1

2

)

3

＞0
所以f（0）•f（

3

）＜0在區(qū)間（0，

3

）有一個(gè)零點(diǎn)，又有f（-1）=0，故函數(shù)f（x）有不止一個(gè)零點(diǎn)，故②不正確；
對(duì)于③，因?yàn)?span id="hc19awd" class="MathJye">y=sin(2x-

π

3

)的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，（k∈Z）
所以取k=0，得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是[-

π

12

，

5π

12

]，故③正確；
對(duì)于④，任意實(shí)數(shù)x有f（-x）=f（x），得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，可得導(dǎo)數(shù)f'（x）是奇函數(shù)
所以根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得：“當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0”成立時(shí)，
必定有“當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0”成立，故④正確．
故答案為①③④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，考查了含有量詞命題的否定、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．