Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+bx+b）e^x的極值點為x=-

2

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和x=1．
（1）當b=1時，求函數(shù)f（x）的增區(qū)間；
（2）當0＜b≤2時，求函數(shù)f（x）在[-2b，b]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）把b=1代入函數(shù)解析式，求出其導函數(shù)，由導函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調性；
（2）求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，得到其零點，然后討論零點與所給區(qū)間端點值的大小關系得到函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性，并求得最值．

解答： 解：（1）當b=1時，f（x）=（x²+x+1）e^x，
∴f′（x）=（x²+3x+2）•e^x，
由f′（x）＞0，得x＞-1或x＜-2．
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（-1，+∞）；
（2）∵f（x）=（x²+bx+b）e^x，
∴f′（x）=[x²+（2+b）x+2b]e^x=（x+2）（x+b）e^x．
由f′（x）=0，得x=-2或x=-b．
當-2≤-2b，即0＜b≤1時，函數(shù)f（x）在（-2b，-b）上單調遞減，在（-b，b）上單調遞增．
∴M=max{f（-2b），f（b）}，
∵f（-2b）=（2b²+b）•e^-2b，
f（b）=（2b²+b）•e^b．
∴M=f（b）．
當-2b＜-2＜-b，即1＜b＜2時，函數(shù)f（x）在（-2b，-2）上單調遞增，在（-2，-b）上單調遞減，在（-b，b）上單調遞增．
∴M=max{f（-2），f（b）}，
∵f（-2）=（4-b）•e^-2，
且（2b²+b）-（4-b）=2b2+2b-4=2(b+

1

2

)2-

9

2

＞2×12+2×1-4=0，
∴M=f（b）．
當-2=-b，即b=2時，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（-2b，b）上單調遞增，
∴M=f（b）．
綜上所述：M=f（b）=（2b²+b）e^b．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學思想方法及數(shù)學在轉化思想方法，是壓軸題．