已知定義域在R上的單調(diào)函數(shù),存在實(shí)數(shù)x0,使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x1,x2總有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立.
(1)求x0的值;
(2)若f(1)=1,且對(duì)于任意的正整數(shù)n,有an=數(shù)學(xué)公式,bn=f(數(shù)學(xué)公式)+1
(Ⅰ)若Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,求Sn;
(Ⅱ)若Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,求Tn

解:(1)令x1=x2=0,得f(0)=f(x0)+2f(0),∴f(x0)=-f(0)①
令x1=1,x2=0,得f(x0)=f(x0)+f(1)+f(0),∴f(1)=-f(0)②
由①②得f(x0)=f(1)
又∵f(x)是單調(diào)函數(shù),
∴x0=1
(2)由(1)可得 f(x1+x2)=f(1)+f(x1)+f(x2)+1
則f(n+1)=f(n)+f(1)+1=f(n)+2
又∵f(1)=1
∴f(n)=2n-1 (n∈N*),
∴an=
∴Sn=++…+=(1-+-+…+-)=(1-
又∵f(1)=f(+)=f()+f()+f(1),∴f()=0,∴b1=f()+1=1
∵f()=f(+)=f()+f()+f(1)=2f()+1
∴bn=f()+1=2f()+2=2bn+1
=
∴bnbn+1=×=×
∴Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1==
分析:(1)利用賦值法,先令 x1=x2=0,再令 x1=1,x2=0,代入已知恒等式即可
(2)令 x1=n,x2=1,代入已知恒等式,即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{f(n)}為等差數(shù)列,從而可用裂項(xiàng)求和的方法求Sn;利用f()=f(+)代入恒等式,即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得Tn
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用能力,抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用,等差等比數(shù)列的定義,裂項(xiàng)求和的技巧及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)镽上的函數(shù)f(x)滿足,對(duì)任意的x,y,恒有f(x-y)=
f(x)f(y)
且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1

(1)求證f(0)=1,且當(dāng)x<0時(shí)有f(x)>1.
(2)判斷f(x)在R上的單調(diào)性并證明.
(3)若對(duì)任意的x∈R,不等式f(ax2)•f(1-ax)>f(2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=a+
12x+1
是奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
(3)是否存在實(shí)數(shù)k,對(duì)于任意t∈[1,2],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,若存在,求出實(shí)數(shù)k的取值范圍,若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
是奇函數(shù),其中a為實(shí)數(shù).
(1)求a的值;  
(2)判斷函數(shù)f(x)在其定義域上的單調(diào)性并證明;
(3)當(dāng)m+n≠0時(shí),證明
f(m)+f(n)
m+n
>f(0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•寶山區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
-3x+a3x+1+b

(1)當(dāng)a=b=1時(shí),求滿足f(x)≥3x的x的取值范圍;
(2)若y=f(x)的定義域?yàn)镽,又是奇函數(shù),求y=f(x)的解析式,判斷其在R上的單調(diào)性并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,若f(-1)=2.
(1)求證:f(x)為奇函數(shù);
(2)判斷f(x)在R上的單調(diào)性(說(shuō)明理由);并求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,4]上的值域.
(3)若對(duì)任意t∈[1,3],不等式f(t2-2kt)+f(2t2-1)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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