已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N．

(Ⅰ)證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；

(Ⅱ)是否存在實數(shù)k使，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)如圖，設，，把代入得，

　　由韋達定理得，，

　　，點的坐標為．

　　設拋物線在點處的切線的方程為，

　　將代入上式得，

　　直線與拋物線相切，

　　，．

　　即．

　　(Ⅱ)假設存在實數(shù)，使，則，又是的中點，

　　．

　　由(Ⅰ)知

　　．

　　軸，．

　　又

　　．

　　，解得．

　　即存在，使．

　　解法二：(Ⅰ)如圖，設，把代入得

　　．由韋達定理得．

　　，點的坐標為．，，

　　拋物線在點處的切線的斜率為，．

　　(Ⅱ)假設存在實數(shù)，使．

　　由(Ⅰ)知，則

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　，

　　，，解得．

　　即存在，使．


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源：2008年高考預測卷理科數(shù)學(廣東卷)全國通用 題型：044

已知拋物線C：y＝ax2(a為非零常數(shù))的焦點為F，點P為拋物線C上一個動點，過點P且與拋物線C相切的直線記為L．

(1)求F的坐標；

(2)當點P在何處時，點F到直線L的距離最��？

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科目：高中數(shù)學 來源：山東省濟寧市金鄉(xiāng)二中2012屆高三11月月考數(shù)學文科試題 題型：044

已知拋物線C：y＝mx2(m＞0)，焦點為F，直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A、B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q．

(1)求拋物線C的焦點坐標；

(2)若拋物線C上有一點R(xR，2)到焦點F的距離為3，求此時m的值；

(3)是否存在實數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全國卷數(shù)學文科 題型：044

已知拋物線C：y＝(x＋1)2與圓M：(x－1)2＋(y－)2＝r2(r＞0)有一個公共點A，且在A處兩曲線的切線為同一直線上．

(Ⅰ)求r；

(Ⅱ)設m，n是異于l且與C及M都切的兩條直線，m，n的交點為D，求D到l的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖南省郴州市高三下學期第六次月考文科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分13分）

已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸

的垂線交C于點N.(1)證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；

(2)是否存在實數(shù)k使·＝0，若存在，求k的值；若不存在，說明理由.

 

 

 

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