Question

2．對(duì)于函數(shù)：①f（x）=4x+$\frac{1}{x}$-5，②f（x）=|log₂x|-（$\frac{1}{2}$）^x，③$f（x）=lnx-\frac{1}{x}$，判斷如下兩個(gè)命題的真假：命題甲：f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)；命題乙：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁x₂＜1；能使命題甲、乙均為真的函數(shù)的序號(hào)是①②．

Answer 1

分析 借助基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)律判斷②的零點(diǎn)之積．

解答 ?解：對(duì)于①，f′（x）=4-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，即命題甲正確；
令f（x）=0得4x²-5x+1=0，解得x₁=1，x₂=$\frac{1}{4}$，故命題乙正確；
對(duì)于②，∵y=|log₂x|在（1，2）上單調(diào)遞增，y=（$\frac{1}{2}$）^x在（1，2）上單調(diào)遞減，
∴f（x）=|log₂x|-（$\frac{1}{2}$）^x在（1，2）上單調(diào)遞增，即命題甲正確；
作出y=|log₂x|與y=（$\frac{1}{2}$）^x的函數(shù)圖象，如圖所示：

由圖象可知f（x）在（0，+∞）上有2個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，
則x₁＜1＜x₂，∴-log₂x₁＞log₂x₂，即log₂x₂+log₂x₁＜0，∴x₁x₂＜1．故命題乙正確；
對(duì)于③，∵y=lnx在（1，2）上單調(diào)遞增，y=$\frac{1}{x}$在（1，2）上單調(diào)遞減，
∴f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$在（1，2）上單調(diào)遞增，即命題甲正確；
作出y=lnx和y=$\frac{1}{x}$的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）在（0，+∞）上只有1個(gè)零點(diǎn)，故命題乙錯(cuò)誤；
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)零點(diǎn)判斷與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．