過點P(2，1)作直線l分別交x軸、y軸正半軸于A、B兩點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程.

解:設直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0).

∵P(2，1)在直線l上，∴＋＝1.

于是·≤()2＝，

當且僅當＝＝時上式等號成立，

即a=4，b=2時，·最大.

∴S△AOB的最小值為ab＝4.

此時直線l的方程為＋＝1.

∴當△AOB的面積最小時，直線l的方程為＋＝1,?即x＋2y－4=0.

點評:(1)求直線l與坐標軸圍成的三角形的面積的問題時，常把直線l的方程設成截距式＋=1，這樣三角形的面積就是|ab|.此例中，根據(jù)兩正數(shù)、的和是常數(shù)的特點，利用基本不等式，求得了積的最大值，也就是面積的最小值，再由取得最值的條件得出a、b的值，進而求得l的方程.

(2)本題還可設l的方程為y－1=k(x－2)(k＜0).

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，過點C作CE∥AB，AD=2BC，AB=BC，，現(xiàn)將梯形沿CE折成直二面角D-EC-AB．
（1）求直線BD與平面ABCE所成角的正切值；
（2）設線段AB的中點為P，在直線DE上是否存在一點M，使得PM∥面BCD？若存在，請指出點M的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•淮南二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦點，且橢C的離心e=
1
2
，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

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（2）設線段AB的中點為P，在直線DE上是否存在一點M，使得PM∥面BCD？若存在，請指出點M的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年安徽省淮北市高考數(shù)學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-y2=1有相同的焦點，且橢C的離心e=，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年安徽省淮南市高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-y2=1有相同的焦點，且橢C的離心e=，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

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