Question

已知正方形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為θ(0＜θ＜π).

(1)證明BF∥平面ADE；

(2)若△ACD為正三角形，試判斷點(diǎn)A在平面BC?DE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角θ的余弦值.

Answer 1

解析：(1)證明：E、F分別是正方體ABCD的邊AB、CD的中點(diǎn).

∴EB∥FD，且EB=FD.

∴四邊形EBFD是平行四邊形.

∴BF∥ED.

∵ED平面AED，而BF平面AED.

∴BF∥平面AED.   

(2)解法一：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過點(diǎn)A作AG⊥平面BCDE，垂足為G，連結(jié)GC、GD.

∵△ACD為正三角形.

∴AC=AD，∴GC=GD.

∴G在CD的垂直平分線上.

又∵EF是CD的垂直平分線，∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.   

過G作GH⊥ED.垂足為H.連結(jié)AH，則AH⊥DE，∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角.即∠AHG=θ.

設(shè)原正方形ABCD的邊長為2a，連結(jié)AF.

在折后圖的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF.

∴AG=.

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.   

解法二：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過點(diǎn)A作AG′⊥EF，垂足為G′.

∵△ACD為正三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD，∴CD⊥平面AEF.

∵AG′平面AEF，∴CD⊥AG′.

又∵AG′⊥EF.且CD∩EF=F，CD平面BCDE，EF平面BCDE.∴AG′⊥平面BCDE.

∴G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.

∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.  

過G作GH⊥ED，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角A-DE－C的平面角，即∠AHG=θ.

設(shè)原正方形ABCD的邊長為2a.

在折后圖的△AEF中,AF=r,EF=2AF=2a.

∴△AEF為直角三角形，AC·EF=AE·AF.

∴AG=.

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.  解法三：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過點(diǎn)A作AG′⊥EF，垂足為G′.

∵△ACD為正三角形，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，∴AF⊥CD.又∵EF⊥CD，∴CD⊥平面AEF.

∵CD平面BCDE.

∴平面AEF⊥平面BCDE.

又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF.

∴AG′⊥平面BCDE，即G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過G作GH⊥DE，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ.

設(shè)原正方形ABCD的邊長為2a.

在折后圖的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF.

∴AG=.

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.