Question

已知關(guān)于x的方程x²-2tx-1=0的兩不等實根為x₁，x₂（x₁＜x₂），函數(shù)f（x）=

x-t

x2+1

的定義域為[x₁，x₂]．
（1）求f（x₁）•f（x₂）的值；
（2）設maxf（x）表示函數(shù)f（x）的最大值，minf（x）表示函數(shù)f（x）的最小值，記函數(shù)g（t）=maxf（x）-minf（x），求函數(shù)h（t）=g（log₂t）•g（log₁2）在t∈（1，2]的值域．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）結(jié)合韋達定理得到兩根之和、兩根之積，然后整體代入f（x₁）f（x₂）即可；
（2）先將t看成參數(shù)，求出f（x）的最值（用t表示），以此得到g（t）=maxf（x）-minf（x），再利用換元法研究將函數(shù)h（t）進行轉(zhuǎn)化，研究轉(zhuǎn)化后的函數(shù)的單調(diào)性求其值域．

解答： 解（1）由韋達定理得：x₁x₂=-1，x₁+x₂=2t，
則f（x₁）f（x₂）=

x1-t

x12+1

•

x2-t

x22+1

=

x1x2-t(x1+x2)+t2

x12x22+(x1+x2)2-2x1x2+1

=-

1

4

．
（2）f′(x)=

x2+2tx+1

(x2+1)2

，由于x₁，x₂為方程x²-2tx-1=0的兩實根，
故當x∈[x₁，x₂]時，x²-2tx-1≤0恒成立，得f′（x）≥0在[x₁，x₂]上恒成立，
所以f（x）在[x₁，x₂]上遞增，
所以由題意知g（t）=f（x₂）-f（x₁）=

x2-t

x22+1

-

x1-t

x12+1

，
結(jié)合（1），將1=-x₁x₂，t=

x1+x2

2

代入上式化簡得
g（t）=

x1-x2

2x1x2

=

t2+1

．
在h（t）中，令u=log₂t，則u∈（0，1]，
則函數(shù)化為y=

u2+1

•

1 u2 +1

，化簡得y=

u2+1

u

=u+

1

u

，u∈（0，1]，
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，該函數(shù)在（0，1]上遞減，
所以函數(shù)h（t）的值域為[2，+∞）．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識方法；中間利用韋達定理進行整體代換進行化簡利用換元法研究函數(shù)的值域等方法要注意體會．